Тональная алгебра

Тональ — способ представления полигонов и политопов в задачах фрактальной интерполяции сеточных моделей. Концепция тоналя была разработана как продолжение координатного представления комплексных чисел, кватернионов и октав в пространства размерностью 2ⁿ для n>3. Тональ состоит из опорного вектора и симметрично присоединенного к нему базиса, которые в совокупности образуют квадратную матрицу. В пространствах с n<4 ковариационная матрица тоналя ортонормирована, тогда как в пространствах большей размерности она содержит побочные диагонали — обертоны, расположенные с шагом в одну октаву (8 элементов). Амплитуды обертонов равны коэффициентам автокорреляции опорного вектора при его циклическом сдвиге на целое число октав. Благодаря структуре присоединенного базиса и квантованию амплитуд обертонов алгоритм обращения тоналя очень прост, что важно для представления взаимного морфизма (или отношения подобия) между однотипными графическими примитивами. Поэтому тонали оказываются эффективным инструментом фрактальной интерполяции сеток на основе подобия их клетки смежных масштабов.

Структура тоналя

Матрица тоналя состоит из опорного вектора и векторов симметрично присоединенного базиса, вектора которого формируются парными перестановками и инверсией знаков компонентов опорного вектора. Поэтому матрицу тоналя удобно описать сигнатурой, указывающей для каждого элемента матрицы индекс и знак соответствующей компоненты вектора. На рис.1 показаны сигнатуры «малых» тоналей — комплексных чисел, кватернионов и октав.

Рис.1 Сигнатура «малых» тоналей

Для «больших» тоналей индексные маски I_N строятся по схеме удвоения (рис.2), а знаковые маски S_N — по схеме удвоения рис.3, где C_N обозначает матрицу S_N, в которой знаки элементов первой строки инвертированы. Пример знаковой маски для тоналя 32D показан на рис.4.

Файл:Индексы сигнатуры.jpg

Рис.2 Удвоение индексной маски сигнатуры «большого» тоналя

Применение

Файл:Удвоение знаковой маски.jpg

Рис.3 Удвоение знаковой маски сигнатуры «большого» тоналя

Файл:Знаковая маска тоналя 32D.jpg

Рис.4 Знаковая маска тоналя 32D

Пример фрактальной интерполяции полигональной модели обобщенного тора с использованием алгебры тоналей показан на рис.5

Рис.5 Фрактальная интерполяция полигональной сетки с применением тональной алгебры

Литература

• Тихомирова Т. А., Надыкто А. Б., Назаренко К. М. «Тонали: алгебра и геометрия самоподобия» // — Вестник компьютерных и информационных технологий — 2017 — № 6