Треугольники гиперболической плоскости положительной кривизны

Треугольники гиперболической плоскости положительной кривизны — информация о треугольниках, построенных на гиперболической плоскости положительной кривизны.

Введение

В проективной модели Кэли-Клейна полная плоскость Лобачевского Λ² реализуется на внутренней области проективной плоскости Р₂ относительно некоторой овальной линии γ. На идеальной области плоскости Λ², то есть на внешней области плоскости Р₂ относительно линии γ, реализуется геометрия гиперболической плоскости Ĥ положительной кривизны. Плоскости Ĥ и Λ² служат компонентами расширенной гиперболической плоскости H²: H² = Ĥ U Λ² = P₂\ γ. Линию γ называют абсолютом, а группу G ее проективных автоморфизмов — фундаментальной группой преобразований плоскостей Λ², Ĥ и H².

В качестве прямых плоскости Ĥ приняты прямые (или части прямых) трех топологических типов. Прямые, имеющие с абсолютом две общие мнимо сопряженные точки, называют эллиптическими прямыми плоскости Ĥ. Собственные для плоскости Ĥ части прямых, имеющих две общие действительные точки с абсолютом, называют гиперболическими, а касательные к абсолюту прямые — параболическими прямыми плоскости Ĥ,. На плоскости Ĥ с помощью абсолюта можно ввести инвариантное относительно группы G гиперболическое (или эллиптическое) измерение расстояний на гиперболических (или, соответственно, эллиптических) прямых. Параболические прямые являются на Ĥ изотропными. Каждые две точки некоторой параболической прямой преобразованиями группы G можно перевести в любые две точки любой параболической прямой. Формально вычисленное расстояние между точками на параболической прямой равно нулю.

В отличие от плоскости Лобачевского, топологически эквивалентной открытому диску, плоскость Ĥ гомеоморфна ленте Мебиуса без границ. Никакая прямая не разбивает плоскость Ĥ на части (см. Приложение 3 в книге).

В псевдоевклидовом пространстве $R_{1}^{3}$ плоскость Ĥ кривизны ${\frac {1}{\rho ^{2}}}$может быть реализована на сфере действительного радиуса ρ с отождествленными диаметрально противоположными точками. Число ρ называют радиусом кривизны данной плоскости.

В зависимости от положения относительно абсолюта различают 15 типов углов плоскости Ĥ. Измеримыми с помощью абсолюта являются углы шести типов, углы трех типов имеют вещественные меры.

Замкнутая линия плоскости Ĥ может быть либо односторонней, ее удаление не нарушает связность плоскости, либо двусторонней, разбивающей плоскость на две связные части. Все конечные трехвершинники плоскости Ĥ относятся к 22 инвариантным относительно группы G типам (см. Теорема 5.1.1 из). Трехвершинники, ограниченные двусторонними линиями, называют трехреберниками. Трехреберниками являются трехвершинники следующих десяти типов: eee(I), eee(III), eeh(I), ehh(I), hhh(I), eep(I), ehp(I), epp(I), hpp(I), где символы e, h и p обозначают эллиптический, гиперболический и, соответственно, параболический тип ребра трехвершинника.

Теорема

Пусть на плоскости Ĥ длины ребер трехреберника ABC типа eee(I) или eee(III) удовлетворяют условия |AB| = c, |BC| = а и |AC|= b, а точка D разбивает ребро BC на отрезки, длиной аь и ас, считая, от вершины C. Если прямая AD эллиптическая (гиперболическая), а ее часть О, принадлежащая внутренности трехреберника ABC, имеет длину d, то выполняется соотношение

Следствие. Длина m_a эллиптической (гиперболической) медианы трехреберника типа, eee(I) или eee(III) плоскости, H, проведенная к ребру длиной а, выражается через длины а, b, c ребер данного трехреберника, по формуле

На плоскости, H длины ребер трехреберника типа, eee(I) (eee(III)), медиана которого, проведенная к ребру длиной а, лежит на, параболической, прямой, связаны, соотношением:

$\cos(b/p)+\cos(c/p)=2\varepsilon *cos(a/2*p),\varepsilon =1(\varepsilon =-1)$