Эллиот Либ

Эллиот Либ

Дата рождения

31 июля 1932 года

Место рождения

Бостон, США

Награды и премии

учёный

Эллиот Хершел Либ (англ. Elliott Hershel Lieb) — американский математический физик, профессор математики и физики в Принстонском университете. Работы Либа касаются квантовых и классических многочастичных задач, структуры атома, стабильности материи, функциональных неравенств, теории магнетизма и модели Хаббарда. Член Национальной академии наук США, Американского математического общества, Лондонского Королевского общества. Почётный член Австрийской, Датской, Чилийской академий наук. Дважды (1982–1984 и 1997–1999) занимал пост президента Международной ассоциации математической физики.

Ранние годы

Еврей.

В 1953 году получил степень бакалавра по физике в Массачусетском технологическом институте.

В 1956 году получил докторскую степень в Бирмингемском университете в Англии под руководством Сэмюэля Эдвардса (был членом группы Рудольфа Пейерлса).

В 1956—1957 годах — стипендиат программы Фулбрайта в японском Киотском университете.

Карьера

В 1960—1963 годах — штатный физик-теоретик в исследовательском центре IBM в Йорктаун-Хайтс (в это же время преподавал в Университете Сьерра-Леоне).

В 1963—1966 годах — адъюнкт-профессор физики в израильском Иешива-университете.

В 1966—1968 годах работал в Северо-восточном университете Иллинойса.

В 1968—1975 годах — профессор Массачусетского технологического института.

С 1975 года — профессор в Принстоне.

Опубликовал более 300 научных работ.

Вклад в науку

Внес значительный вклад в строгое рассмотрение моделей в статистической механике и физике многих тел.

Его работы включали в себя изучение стабильности материи (фундаментальные исследования 1970-х годов, частично совместно с Уолтером Тиррингом), моделей типа Изинга (совместно с Даниэлем Маттисом), ферромагнетизма и сегнетоэлектрических моделей, точное решение 6-вершинной модели двумерного «льда», теорию Хартри-Фока кулоновских систем и модель атомов Томаса-Ферми, бозе-газов (например, в 1960-х годах совместно с Вернером Линигером) и конденсации Бозе-Эйнштейна, модели Хаббарда, а также точное описание увеличения энтропии во втором законе термодинамики (совместно с Якобом Ингвасоном). Вместе с Фа-Юэ Ву он в 1968 году дал точное решение одномерной модели Хаббарда. Вместе с Дереком У. Робинсоном он вывел границы скорости распространения информации в нерелятивистских квантово-механических спиновых системах с локальными взаимодействиями, которые сегодня, как границы Либа-Робинсона, играют важную роль, например, в оценке ошибок в термодинамическом пределе или в квантовом моделировании и могут быть использованы для доказательства (с расстоянием) экспоненциального затухания корреляций в спиновых системах или утверждений о размере энергетической щели над основным состоянием в многомерных спиновых системах (обобщенные теоремы Либа-Шульца-Маттиса).

Вместе с Даниэлем Маттисом и Т. Шульцем он в 1964 году рассмотрел двумерную модель Изинга (с новым выводом точного решения Ларса Онсагера посредством преобразования Джордана-Вигнера матриц переноса) и в 1961 году решил модель XY, точно решаемую одномерную модель со спином 1/2.

В 1971 году он и Гарольд Невилл Вазейль Темперли ввели алгебры Темперли-Либа. В 1972 году он и Мэри Бет Рускай доказали сильную субаддитивность энтропии фон Неймана квантово-механических состояний (теорема важна в квантовой теории информации).

Статистическая механика, разрешимые системы

Известен многими новаторскими результатами в статистической механике, касающимися, например, разрешимых систем. Его многочисленные работы собраны в сборниках «Статистическая механика» и «Физика конденсированного состояния и точно решаемые модели», а также в книге Дэниела Мэттиса. Они рассматривают (среди прочего) модели типа Изинга, модели ферромагнетизма и сегнетоэлектричества, точное решение 6-вершинных моделей для двумерной "ледяной модели", одномерный дельта-бозе-газ (теперь называемый моделью Либа — Линигера^[en]) и модель Хаббарда.

В 1964 году Дэниелом Мэттисом и Теодором Шульцем решил двумерную модель Изинга (с новым выводом точного решения Ларса Онсагера посредством преобразования Джордана — Вигнера^[en] передаточных матриц) и в 1961 году модель XY^[en], явно решаемую одномерную модель со спином 1/2. В 1968 году вместе с Фа-Юэ Ву он дал точное решение одномерной модели Хаббарда.

В 1971 году Либ и Невилл Темперли представили алгебру Темперли-Либа для построения определённых передаточных матриц. Эта алгебра также связана с теорией узлов и группой кос, квантовыми группами и субфакторами алгебр фон Неймана .

В 1972 году с Дереком В. Робинсоном вывел ограничения на скорость распространения информации в нерелятивистских спиновых системах с локальными взаимодействиями. Они стали известны как границы Либа-Робинсона^[en] и играют важную роль, например, в определении границ ошибок в термодинамическом пределе^[en] или в квантовых вычислениях. Их можно использовать для доказательства экспоненциального убывания корреляций в спиновых системах или для утверждений о превышении над основным состоянием в многомерных спиновых системах (обобщённые теоремы Либа-Шульца-Маттиса).

В 1972 году Либ и Мэри Бет Раскей доказали сильную субаддитивность квантовой энтропии^[en], теорему, которая является фундаментальной для квантовой теории информации. Это тема тесно связана с тем, что известно как неравенство обработки данных^[en] в квантовой теории информации. Доказательство сильной субаддитивности Либа—Раскей основано на более ранней статье, в которой Либ доказал несколько важных гипотез об операторных неравенствах, включая гипотезу Вигнера-Янасе-Дайсона.

В 1997—1999 годах вместе с Якобом Ингвасоном представил чрезвычайно оригинальную строгую трактовку увеличения энтропии во втором законе термодинамики и адиабатической доступности^[en].

Квантовые системы многих тел и стабильность материи

В 1975 году Либ и Вальтер Тирринг нашли доказательство стабильности материи, которое было короче и более концептуально, чем доказательство Фримена Дайсона и Эндрю Ленарда от 1967 года. Их доказательство основан на новом неравенстве в спектральной теории, которое стало известно как неравенство Либа-Тирринга^[en]. Последнее стало стандартным инструментом при изучении больших фермионных систем, например, для (псевдо-)релятивистских фермионов во взаимодействии с классическими или квантованными электромагнитными полями. С математической стороны неравенство Либа-Тирринга также вызвало огромный интерес к спектральной теории операторов Шрёдингера. Эта плодотворная исследовательская программа привела ко многим важным результатам, которые можно прочитать в его сборнике «Стабильность материи: от атомов к звездам», а также в его книге «Стабильность материи в квантовой механике» (с Робертом Сейрингером).

Основываясь на оригинальной теореме Дайсона-Ленарда об устойчивости материи, Либ вместе с Джоэлем Лебовицем уже в 1973 году представили первое доказательство существования термодинамических функций для квантовой материи. Вместе с Хайде Нарнхофер он сделал то же самое для электронного газа, что легло в основу большинства функционалов в теории функционала плотности .

В 1970-х Либ и Барри Саймон изучили несколько нелинейных приближений уравнения Шрёдингера для многих тел, в частности метод Хартри — Фока и модель атомов Томаса-Ферми. Они представили первое строгое доказательство того, что последняя даёт ведущий порядок энергии для больших нерелятивистских атомов. Вместе с Рафаэлем Бенгурией и Хаимом Брезисом он изучил несколько вариантов модели Томаса-Ферми.

Проблема ионизации в математической физике требует определения строгой верхней границы числа электронов, которые может связать атом с данным ядерным зарядом. Экспериментальные и численные данные, по-видимому, предполагают, что может быть не более одного или, возможно, двух дополнительных электронов. Строгое доказательство этого утверждения — открытая проблема. Аналогичный вопрос можно задать и относительно молекул. Либ доказал известную верхнюю границу числа электронов, которые может связать ядро. Позднее, вместе с Исраэлем Майклом Сигалом, Барри Саймоном и Вальтером Тиррингом, он впервые доказал, что избыточный заряд асимптотически мал по сравнению с ядерным зарядом.

С Якобом Ингвасоном дал строгое доказательство формулы для энергии основного состояния разрежённых бозе-газов. Впоследствии вместе с Робертом Зайрингером и Якобом Ингвасоном он изучал уравнение Гросса-Питаевского для энергии основного состояния разрежённых бозонов в ловушке, начиная с квантовой механики многих тел. Работы Либа с Джозефом Конлоном и Хорнг-Цер Яу, а также с Яном Филипом Соловеем над тем, что известно как «закон N^7/5 для бозонов» дают первое строгое обоснование теории спаривания Боголюбова.

В квантовой химии Либ известен тем, что в 1983 году представил первую строгую формулировку теории функционала плотности с использованием средств выпуклого анализа. Универсальный функционал Либа дает наименьшую энергию кулоновской системы с заданным профилем плотности для смешанных состояний. В 1980 году вместе со Стивеном Оксфордом доказал неравенство Либа — Оксфорда^[en], которое даёт оценку минимально возможной классической кулоновской энергии при фиксированной плотности и позже использовалось для калибровки некоторых функционалов, таких как PBE и SCAN. Позднее, вместе с Матье Левином и Робертом Зайрингером он дал первое строгое обоснование приближения локальной плотности для медленно меняющихся плотностей.

Математический анализ

В 1970-х занялся вариационным исчислением и дифференциальными уравнениями в частных производных, и внёс в эти разделы математики фундаментальный вклад.

Важной темой был поиск лучших приближений для констант в нескольких неравенствах функционального анализа, которые Либ затем использовал для строгого изучения нелинейных квантовых систем. Его результаты в этом направлении собраны в сборнике Неравенства. Среди неравенств, в которых он определил точные параметры, — неравенство Юнга и неравенство Харди — Литтлвуда — Соболева, которые будут обсуждаться ниже. Он также разработал инструменты, которые сейчас считаются стандартными в анализе, такие как перестановочные неравенства^[en] или лемма Брезиса — Либа^[en], которая дает недостающий член в лемме Фату для последовательностей функций, сходящихся почти везде.

Совместно с Хермом Браскэмпом и Хоакином Латтингером он доказал в 1974 году обобщение упомянутого выше перестановочного неравенства, установив, что некоторые полилинейные интегралы увеличиваются, когда все функции заменяются их симметричной убывающей перестановкой^[en]. Вместе с Фредериком Альмгреном он прояснил свойства непрерывности перестановки. Перестановка часто используется для доказательства существования решений в некоторых нелинейных моделях.

В двух известных работах (одна в 1976 году с Гермом Браскэмпом и еще одна в одиночку в 1990 году) Либ установил справедливость и определил наилучшие константы для целого семейства неравенств, которое обобщает, например, неравенство Гёльдера, неравенство Юнга для свёрток^[en] и неравенство Лумиса — Уитни^[en]. Оно теперь известно как неравенство Браскампа — Либа^[en]. Суть в том, что наилучшая константа определяется случаем, когда все функции являются гауссианами. Неравенство Браскампа — Либа нашло приложения и обобщения, например, в гармоническом анализе.

Применяя перестановочные неравенства и методы компактности, Либ доказал в 1983 году существование оптимизаторов для неравенства Харди — Литтлвуда — Соболева^[en] и неравенства Соболева^[en]. Он также определил наилучшую константу в некоторых случаях, обнаружив и используя конформную инвариантность проблемы и связав её с помощью стереографической проекции с конформно эквивалентной, но более разрешимой проблемой на сфере. Новое доказательство (без перестановок) было предоставлено позже Рупертом Франком, что позволило рассмотреть случай группы Гейзенберга.

В 1977 году доказал единственность (с точностью до симметрии) основного состояния для уравнения Шокара — Пекара, также называемого уравнением Шредингера — Ньютона^[en], которое может описывать самогравитирующий объект или электрон, движущийся в поляризуемая среда (полярон). Вместе с Лоуренсом Томасом он предоставил в 1997 году вариационный вывод уравнения Шокара — Пекара из модели квантовой теории поля (гамильтониан Фрёлиха). Эта проблема была решена ранее Монро Донскер и Шриниваса Варадхан с использованием метода интеграла по вероятностным путям.

В другой работе с Хермом Браскампом в 1976 году Либ распространил неравенство Прекопа — Лейндлера^[en] на другие типы выпуклых комбинаций двух положительных функций. Он усилил это неравенство и неравенство Брунна — Минковского, введя понятие существенного сложения.

Написал вызвавшие общий интерес статьи о гармонических отображених, в том числе с Фредериком Альмгреном, Хаимом Брезисом и Жаном-Мишелем Короном . В частности, Альгрем и Либ доказали ограничение на число особенностей минимизирующих энергию гармонических отображений.

Следует упомянуть его учебник «Анализ» с Майклом Лоссом. Он стал стандартом для аспирантов по математическому анализу. Он развивает все традиционные методы анализа в краткой, интуитивно понятной форме с упором на приложения.

Семья

Супруга — Кристиана Феллбаум, профессор Принстонского университета, главный разработчик WordNet и член Берлинско-Бранденбургской академии наук и гуманитарных наук.

Труды

• Lieb, Elliott H.; Seiringer, Robert. The stability of matter in quantum mechanics. Cambridge University Press, 2010 ISBN 978-0-521-19118-0
• Lieb, Elliott H.; Loss, Michael. Analysis. Graduate Studies in Mathematics, 14. American Mathematical Society, Providence, RI, 1997. xviii+278 pp. ISBN 0-8218-0632-7
• Lieb, Elliott H.; Seiringer, Robert; Solovej, Jan Philip; Yngvason, Jakob. The mathematics of the Bose gas and its condensation. Oberwolfach Seminars, 34. Birkhäuser Verlag, Basel, 2005. viii+203 pp. ISBN 978-3-7643-7336-8; 3-7643-7336-9
• Statistical mechanics. Selecta of Elliott H. Lieb. Edited, with a preface and commentaries, by B. Nachtergaele, J. P. Solovej and J. Yngvason. Springer-Verlag, Berlin, 2004. x+505 pp. ISBN 3-540-22297-9
• Condensed matter physics and exactly soluble models. Selecta of Elliott H. Lieb. Edited by B. Nachtergaele, J. P. Solovej and J. Yngvason. Springer-Verlag, Berlin, 2004. x+675 pp. ISBN 3-540-22298-7
• The Stability of Matter: From Atoms to Stars. Selecta of Elliott H. Lieb (4th edition). Edited by W. Thirring, with a preface by F. Dyson. Springer-Verlag, Berlin, 2005. xv+932 pp. ISBN 978-3-540-22212-5
• Inequalities. Selecta of Elliott H. Lieb. Edited, with a preface and commentaries, by M. Loss and M. B. Ruskai. Springer-Verlag, Berlin, 2002. xi+711 pp. ISBN 3-540-43021-0